Cumpleaños, taxis y restaurantes: Matemáticas en el día a día

Al contrario que muchos chavales, Matemáticas siempre fue una de mis asignaturas favoritas. De hecho, era mi segunda opción de estudios cuando iba a entrar en la universidad, pero los ordenadores me tiraban incluso más. Es por ello que mi sentido matemático se encuentra permanente activado en el día a día, y no sólo en mi ámbito profesional. Hoy quería compartir algunas pequeñas historias de la vida que me hicieron volver a casa con ganas de analizar los números detrás de ellas.

Ese taxi me resulta familiar.

Hace unos años salía de comer con unos amigos cuando nos montamos en el coche para dirigirnos a nuestra siguiente parada de la tarde. De pronto, nos detuvimos en la línea de parada de un semáforo, junto a un taxi. Yo estaba sentado en el asiento del conductor, cuando me dio por echar un vistazo al número de identificación del taxi en la puerta.

Mira que en general no soy demasiado observador para estas cosas, pero en ese momento me percaté de que el número de 5 cifras coincidía con mi fecha de nacimiento con el formato DDMAA (DD: día, dos dígitos en mi caso, M: mes, un dígito en mi caso, AA: dos últimos dígitos del año). A lo mejor es una chorrada, pero me hizo ilusión. Más aún teniendo en cuenta lo poco probable de encontrar esa secuencia entre todas las posibles combinaciones de 5 dígitos. La probabilidad es de 1/10⁵, o lo que es lo mismo, 1 entre 100000.

Cumpleaños en clase.

Esta es una de las historias que cuando pienso en matemáticas siempre me viene a la cabeza. Durante una clase en la universidad, la profesora quiso ilustrar un problema utilizando a los alumnos que allí nos encontrábamos. Afirmaba con total seguridad que podía encontrar dos personas cumpliendo años el mismo día dentro de la clase. Es verdad que el número de alumnos era considerable (seríamos alrededor de 100), pero aún así, se respiraba el escepticismo. Dicho y hecho, la profesora comenzó a preguntar el día de cumpleaños a los alumnos de manera aleatoria. Para sorpresa de todos, no tardó demasiado en encontrar un match.

Uno puede pensar que alrededor de 100 personas es un número considerable para encontrar personas cumpliendo años el mismo día. Lo sorprendente es que ni siquiera necesitó comprobar las fechas de gran parte de la clase. De hecho, creo recordar que no llegó ni a la mitad: preguntaría a unas 20 o 30 personas como mucho. Una vez superado el efecto wow, haciendo algunos cálculos resultó fácil ver que en realidad estaba jugando muy a lo seguro.

La clave reside, como en muchas ocasiones en matemáticas, en resolver el problema contrario: probabilidad p de que dos personas NO cumplan años el mismo día, considerando 365 posibles fechas y n personas. La primera persona tendrá un día de cumpleaños entre los 365 posibles, la segunda entre los 364 restantes…y así sucesivamente, a fin de que cada persona cumpla años en un día distinto.

De esta manera, la probabilidad de que dos personas en un grupo de n cumplan años el mismo día será 1 – p. La anterior fórmula generalizada quedaría:

Por supuesto, con mas de 365 personas es seguro que al menos dos cumplirán años el mismo día (al menos una persona repetirá fecha entre las 365 posibles). Aplicando la fórmula a nuestro caso particular en aquel entonces (pongamos n=100), la probabilidad de que dos personas cumplieran el mismo día era del 99.9%. Como decía antes, la profesora iba muy a lo seguro. Nótese que con un grupo de tan solo 23 personas la probabilidad ya es de más del 50%, y a partir de 57 personas la probabilidad sube por encima del 99%. Se trata del famoso problema conocido como la paradoja del cumpleaños.

Fútbol y quinielas.

En casa siempre fuimos muy aficionados al fútbol. Hubo una época en la que echábamos la clásica quiniela con un par de columnas en apuesta simple. Debía ser alrededor de 1€ el precio de la apuesta. Más que buscar hacernos ricos, era más por tentar a la suerte y darle un aliciente a la escucha de partidos por la radio el fin de semana. Eran tiempos en los que la televisión de pago o por Internet no estaba aún a la orden del día.

Para los que no les resulte familiar este formato de apuesta deportiva, la quiniela consiste en marcar los resultados para partidos de primera y segunda división de fútbol (1: Victoria del equipo local, X: Empate, 2: Victoria del equipo visitante). Hay un total de 15 partidos y, en mi época (no sé si la quiniela ha cambiado mucho), podías obtener un premio a partir de 11 aciertos. La cuantía de dichos premios dependía igualmente del número de ganadores.

Como cabía esperar, los fríos números no son muy alentadores en cuanto a las posibilidades de ganar algo. Por ejemplo, con tres posibles resultados por partido, la probabilidad de obtener un pleno al quince era de 1/3¹⁵, o lo que es lo mismo, 1 entre 14348907. A pesar de ello, he de decir que a lo largo de los años logramos cazar algún premio de 11, 12 y hasta 13 aciertos, creo recordar. Muy a nuestro a pesar, el dinero ganado en esas pocas ocasiones (que se cuentan con los dedos de una mano) fue bastante escaso. El mayor pepinazo debieron ser alrededor de 200€. Recuerdo que nos dio para comprar una PlayStation de la época.

Esto me dio que pensar. Como ya adelantaba antes, el premio a recibir por cada ganador depende de la cantidad de ganadores para cada categoría (11, 12, 13, 14 y 15 partidos acertados). Con lo cual, la primera conclusión sobre nuestras pírricas ganancias era que en aquellas jornadas se habían registrado muchos ganadores. Esto implicaba, seguramente, que la quiniela había sido fácil. Con fácil me refiero a que los partidos habían sido más predecibles. Hay múltiples factores que pueden condicionar un partido de fútbol (malas rachas, lesiones de jugadores importantes, decisiones arbitrales, etc.) pero no olvidemos que antes de cada partido hay algunos números que se pueden consultar para tener una pista de cuál podría ser el resultado más probable: los enfrentamientos previos entre ambos equipos.

Real Madrid	Almería	Empates
9	1	2

En la tabla anterior, la historia dice que el Real Madrid gana en el 75% de las ocasiones que se enfrenta al Almería, que es una probabilidad bastante elevada. La gente aficionada al fútbol no necesita consultar demasiado estas estadísticas para tomar decisiones, pero es fácil entender que una quiniela con muchos partidos de este estilo es, a priori y con las estadísticas en la mano, más predecible. Todo ello al margen de otros posibles factores, como comentaba antes. Y esto era lo que nos pasaba. Las veces que rozábamos la gloria se debía en gran parte a la predictibilidad de un puñado de resultados. Lo que es una quiniela sin muchas sorpresas, vaya.

Comiendo con amigos.

Quería comentaros ahora otro clásico de las mates en la vida real. Y no es otra cosa que la hora de repartir la cuenta cuando un grupo de amigos sale a comer. En muchos casos, para facilitar las cosas se elige repartir la cuenta a partes iguales. Esto puede llegar a producir fricciones, especialmente entre los que han elegido platos más económicos y los que se han venido más arriba pidiendo algo más sofisticado, aprovechando que la cuenta se repartirá entre todos. Suponiendo como criterio de satisfacción la cantidad que cada comensal se ahorra, la situación en un grupo de 2 comensales sería la siguiente:

Comensales 1, 2	Plato barato	Plato caro
Plato barato	Ambos contentos	Comensal 1 triste
Plato caro	Comensal 2 triste	Ambos contentos

Como puede observarse, salvo que ambos comensales decidan elegir la misma estrategia, siempre habrá uno al que le toque pagar parte del plato caro que ha pedido el otro. Incluso en las situaciones en que ambos piden el mismo plato (bien sea el barato o el caro), los comensales saldrían con cierta decepción: la idea del plato caro era atractiva si el resto pagaba parte de él, y el plato barato salvaguarda el bolsillo pero no satisface tanto como el caro. El dilema de la cena es un problema clásico de la teoría de juegos, área encargada de estudiar las interacciones entre grupos basadas en incentivos.

En definitiva, parece complicado que todos los comensales salgan satisfechos. Diversos estudios demuestran además que, actuando de manera individualista, la tendencia de los comensales suele ser pedir el plato caro, esperando ahorrarse algo cuando la cuenta se divida en partes iguales. O lo que es lo mismo, la tendencia de las comidas a escote es que el precio medio sea mayor que si cada uno pagara lo suyo, en cuyo caso los comensales tienden a ser más conservadores con el gasto.

Todo esto está muy bien pero, ¿cómo lo arreglamos? ¿Es posible repartir la cuenta a partes iguales sin acabar discutiendo? Teniendo en cuenta lo que comentaba antes, a muchos no se les escapará que hay ciertas estrategias que podrían satisfacer el bolsillo y el paladar a partes iguales:

• Enfocar la comida a platos compartidos. De esta forma puede haber platos más baratos y platos más caros involucrados, pero todos los comensales eligen cuáles pedir y todos los comensales los comparten de manera igualitaria. Lo que es ir de raciones, vamos.
• Ir a restaurantes con escasa diferencia de precio entre platos. Si todo el mundo elige un plato y los precios son similares, al final todos pagarán aproximadamente lo mismo. Puede molestar pagar 10-20€ más por la comida de otros, pero probablemente pagar 2-3€ más no es un problema. Este tipo de precios suelen encontrarse en restaurantes de gama media (típicas cadenas de restaurantes italianos, por ejemplo). Y también pienso que no es casualidad: un grupo de clientes que no discute por la cuenta, es más probable que regrese. Y los restaurantes lo saben.

Una noche en el casino.

Quién no se ha aventurado alguna vez con los amigos en una noche de visita al casino para intentar sacarse un dinerillo y alguna que otra anécdota memorable. En esta ocasión, he de decir que yo no estaba presente, pero en un momento dado unos amigos fueron una noche al casino. Y cómo no, alguno que otro iba a probar la archiconocida estrategia de apostar todo el rato al mismo color en la ruleta, aumentando la apuesta en caso de entrar en pérdidas, a fin de recuperarlas y seguir con opciones de ganancia en sucesivas rondas. Un ejemplo de esta estrategia podría ser el siguiente:

Ronda	Apuesta	Resultado	Parcial	Total
1	10€ Rojo	Rojo	+10€	+10€
2	10€ Rojo	Rojo	+10€	+20€
3	10€ Rojo	Negro	-10€	+10€
4	10€ Rojo	Negro	-10€	0€
5	10€ Rojo	Negro	-10€	-10€
6	10€ Rojo	Negro	-10€	-20€
7	20€ Rojo	Negro	-20€	-40€

El juego empezó bien para el jugador, ganando en dos rondas de manera consecutiva, pero vemos que entró en una mala racha a partir de la ronda 3. En la ronda 5 entra en pérdidas. Para intentar recuperarse, el jugador apuesta por el valor total de sus pérdidas, lo que le lleva a apostar nuevamente 10€ en la ronda 6. Al volver a perder, el jugador se ve obligado a apostar 20€ para reengancharse a un futuro con ganancias. Al perder nuevamente, en la ronda 8 tendría que apostar ya 40€. Es fácil ver cómo va la cosa, ¿no? Algunos habréis reconocido ya esta estrategia como la clásica martingala.

Aquella noche, como podéis imaginar, a algunos les fue mejor que a otros. Existen factores que pueden condicionar la probabilidad Rojo-Negro en la ruleta, como pequeñas imperfecciones de la propia ruleta (inclinación, desgaste, etc.), que algunos en el pasado se encargaban de estudiar a fin de apostar a lo seguro. Sin embargo, desde el punto de vista matemático y considerando una ruleta perfecta existen varios puntos que invitan al fracaso de esta estrategia a largo plazo:

• La primera y más importante. La probabilidad de obtener Rojo o Negro es inferior al 50%, por la presencia del 0, en cuyo caso gana la banca el dinero apostado tanto sobre Rojo como sobre Negro.
• Como se vio en el ejemplo, un jugador puede encadenar rachas buenas y tener ganancias si se retira a tiempo pero, a largo plazo, estadísticamente las malas rachas acaban llegando. La probabilidad de una racha buena es la misma que la de una racha mala.
• Una vez entrado en pérdidas, si un jugador se atasca en una mala racha, nótese que cada ronda sucesiva necesita ir doblando su apuesta para intentar meterse de nuevo en el juego. Este número puede crecer muy rápidamente.
• No menos importante, normalmente existe un límite de apuesta en los casinos. Llegado el caso, puede ser que el jugador no pueda aumentar la apuesta para intentar recuperar las pérdidas en una sola ronda, complicando aún más su dramática situación.

En definitiva, entrar a apostar a Rojo-Negro una noche de risas con el propósito de no gastar más de 10€ no te va a arruinar. Sin embargo, intentar ganar dinero de verdad con esta estrategia, tal cual se ha visto, es otra historia.

Contraseñas seguras.

Este es otro clásico de las matemáticas aplicadas al día a día. Aunque hoy en día existen aplicaciones para generar y manejar nuestras contraseñas de manera más segura, la realidad es que rara es la persona que no tiene que recordar un puñado de contraseñas para las distintas cuentas de las aplicaciones en las que está dada de alta.

Aunque muchas personas son ya conscientes de la importancia de una contraseña larga por motivos de seguridad, es importante recordar la lógica matemática detrás de este argumento. Un usuario malicioso que intente obtener una contraseña, siempre puede, como mínimo, ejecutar un ataque por fuerza bruta, que no es otra cosa que probar todas las posibles contraseñas de determinada longitud.

Siendo C el número total de posibles caracteres a utilizar y L la longitud de la contraseña, el número total de posibles contraseñas es C^L. Por ello, para poner las cosas más complicadas a un posible atacante, desde el punto de vista matemático conviene utilizar una contraseña larga y que utilice el mayor número de caracteres posible (minúsculas, mayúsculas, números, símbolos, etc.). Algunos ejemplos del número de contraseñas a probar por un atacante se muestran en la siguiente tabla:

Caracteres a utilizar	Longitud	Contraseñas
Números	4	10000
Minúsculas	5	11881376
Minúsculas y mayúsculas	10	1,445×10¹⁷
Minúsculas, mayúsculas y números	15	7,689×10²⁶

Uno podría pensar que tal vez utilizar una contraseña numérica de longitud 4 ofrece seguridad suficiente ante un hipotético atacante, pero hay que recordar que este tipo de ataques es realizado por ordenadores, operativos 24 horas al día y con gran capacidad de procesamiento. Por supuesto, aquí estoy hablando solamente de la razón matemática detrás de la elección de contraseñas largas o más complejas. Existen otros factores que favorecen la fortaleza y seguridad de las contraseñas, como por ejemplo:

• Bloqueo temporal de cuentas tras sucesivos reintentos fallidos de login. Esto dificulta ataques de fuerza bruta en un corto espacio de tiempo.
• El cambio periódico de contraseñas.
• La no reutilización de contraseñas entre distintas cuentas. Si la contraseña de una cuenta queda comprometida, un atacante puede probar suerte para las cuentas del mismo usuario en otros servicios.
• La facilidad para recordar contraseñas. Las contraseñas deben ser fáciles de recordar para el usuario, pero difíciles de adivinar para el resto. Este principio choca un poco con el hecho de utilizar caracteres de todo tipo o longitudes de contraseña muy grandes. Y es que muchas veces, la elección de una frase memorable para el usuario basta para generar una contraseña robusta.

Estoy seguro de que muchos os habréis sentido identificado con algunas de las historias que he comentado en este artículo. ¿Y a vosotros? ¿Os gustan las matemáticas? ¿Tenéis alguna historia interesante que creéis que merece la pena compartir?